متوسط نرخ رشد | فرمول محاسباتی و کاربردها

متوسط گیری و محاسبه میانگین، یکی از ابزارهای خلاصه سازی داده‌ها است. اغلب از میانگین به عنوان جایگزین مقادیر استفاده می‌شود تا بتوان براساس آن مجموعه داده را در یک عدد خلاصه کرد. در این نوشتار از مجله آرمان کامیپوتر می‌خواهیم به نوع خاصی از مقدار میانگین به نام متوسط نرخ رشد بپردازیم و با ذکر مثال‌هایی، نحوه عملیات ریاضی برای بدست آوردن آن را مشخص کنیم.

متوسط نرخ رشد

نرخ رشد (Growth Rate) نشان می‌دهد که چگوپه مقدارهای یک متغیر در حال افزایش یا کاهش هستند. از نرخ رشد در بین دو سال (متوالی یا غیر متوالی) می‌توان برای متوسط نرخ رشد هم استفاده کرد. به این ترتیب داده‌‌های بین دو مقدار ابتدایی و انتهایی نیز برآورد می‌شوند.

فرض کنید دو مقدار ابتدایی و انتهایی یک دنیاله عددی به ترتیب با A و B مشخص شده‌اند. طول این دنباله عددی نیز هم $n$ در نظر می‌گیریم. به این ترتیب متوسط نرخ رشد (یا همان نرخ رشد) به صورت زیر بدست می‌آید.

$$ r = (\dfrac{B}{A})^{\tfrac{1}{n-1}} -1  $$

رابطه بالا را گاهی نرخ رشد مرکب سالانه (compound annual growth rate) یا CAGR نیز می‌نامند.

نکته: همانطور که مشاهده می‌کنید، این محاسبه بسیار به محاسبه میانگین هندسی شبیه است. فقط به جای آنکه دو مقدار در هم ضرب شوند، نسبت آن‌ها محاسبه شده است، سپس ریشه (n-1)ام آن متوسط نرخ رشد را نشان می‌دهد.

مثال: فرض کنید در سال ۱۳۹۵ میزان درآمد یک شرکت ۱۲۰۰ و درآمد آن در سال ۱۴۰۰ هم ۲۴۰۰ است. می‌خواهیم نرخ رشد آن را مشخص کنیم.

با استفاده از فرمول بالا متوسط نرخ رشد را بدست می‌آوریم.

$$ r = (\dfrac{2400}{1200})^{\tfrac{1}{(6-1)}} – 1 = 2^{\tfrac{1}{5}} – 1 = 0.15  $$

به این ترتیب می‌توانیم متوسط نرخ رشد را حدود ۱۵٪ در نظر بگیریم.

اگر بخواهیم میزان درآمد شرکت را در بین سال‌های ۱۳۹۶ تا ۱۳۹۹ پیش‌بینی کنیم (یا با مقادیر واقعی مقایسه کنیم) به ترتیب زیر عمل می‌کنیم. فرض کنید مقدار درآمد در سال ۱۳۹۷ را به صورت $x_{97}$ نشان بدهیم. به این ترتیب محاسبه را به صورت زیر انجام می‌‌دهیم.

$$x_{97}= x_{95}*(r+1)^{97-95}$$

بنابراین مقدار پیش‌بینی شده برای سال ۱۳۹۷ به صورت زیر در خواهد آمد.

$$x_{97}=1200*(0.15+1)^{2} = 1587$$

نکته: برای آزمایش فرمول بالا، سعی می‌کنیم مقدار درآمد در سال ۱۴۰۰ را هم پیش‌بینی کنیم. انتظار داریم مقدار پیش‌بینی با مقدار واقعی برابر یا حداقل به آن بسیار نزدیک باشد. فقط توجه داشته باشید که فاصله بین سال ۱۴۰۰ تا ۱۳۹۵ براساس ۵ نسبت مشخص می‌شود.

$$x_{1400}= x_{95}*(r+1)^{5} = 1200 * (1.15)^5 = 2413.63$$

همانطور که انتظار می‌رفت مقدار پیش‌بینی شده برای سال ۱۴۰۰ بسیار به مقدار واقعی نزدیک است. البته علت تفاوت گرد کردن مقدار نرخ رشد است.

متوسط نرخ رشد

محاسبه متوسط نرخ رشد به کمک اکسل

در اکسل برای محاسبه نرخ رشد مرکب سالانه می‌توانید از تابع RRI یا نرخ سود برای رشد یک سرمایه‌گذاری (rate of return for Growth Investment) استفاده کنید. مشخص است که پارامترهای این تابع باید به مانند محاسبه CAGR همان مقدار اولیه، مقدار انتهایی و تعداد دوره‌ها باشد.

پنجره مربوط به پارامترهای این تابع در اکسل را می‌توانید در تصویر زیر مشاهده کنید. مشخص است که Nper تعداد دوره و PV مقدار ابتدایی دوره و FV مقدار انتهایی دوره است.

RRI function

در پایین این پنجره مقدار محاسبه شده برای RRI یا همان CAGR را مشاهده می‌کنید که ۰.۱۴۸۶۹۸۳۵۵ است که در صورت گرد کردن آن به همان مقدار ۰٫۱۵ خواهیم رسید.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.